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摘要：討論了工科高等數學中多元函數極值的教學間題,將多元函數極值的一個判定方法移植到工科高等數學教學中去。

關鍵字：多元函數，極值，二次型，正定，負定

1.引言

由于自變量的個數大于3時,多元函數極值存在性的判定比較繁復,現行工科高等數學中關于多元函數極值存在性判定問題,局限于討論二元函數,這是遠遠不夠的。因此,尋求能被學生接受的自變量個數大于3時多元函數極值的存在性的判別方法是十分有必要的。本文介紹了運用線性代數的相關知識判定多元函數極值的存在性的方法。這些知識都是成熟的結果,并非作者的創造發明,但將這些知識經過整理移植到工科數學教學中去卻是一個十分有意義的工作。這種方法能為大學生們十分自然地接受,而且能擴大工科學生的知識容量,提高學生運用學得的知識解決實際問題的能力,激發學生學習數學的興趣。

2預備知識

定義1含有個變量的二次齊次函數

(2-1)稱為二次型，取，則（2.1）可寫成

當為復數時,稱為復二次型；當為實數時,稱為實二次型。記

，

則二次型可表示成

,

其中A為對稱陣。二次型與對稱陣A之間存在著一一對應關系,A稱為二次型的矩陣,而稱為對稱陣A的二次型,對稱陣A的秩稱為二次型的秩。

定義2設有實二次型,如果對任何,都有,則稱為正定二次型,并稱對稱陣A是正定的,記作A>0;如果都有,則稱的負定二次型,并稱對稱陣A是負定的,記作A<0;如果都有,則稱為半正定的,稱對稱陣A是半正定的,記作;如果都有,則稱了為半負定的,稱對稱陣A是半負定的,記作；如果既不是半正定也不是半負定的,則稱為不定的,相應地,對稱陣A稱為不定的。

由定義,實二次型的正定性與它的矩陣的正定性是等價的。

關于對稱陣的正定性有如下判別法:

定理2.1對稱陣A為正定的充分必要條件是A的各階順序主子式都為正;即

或A的各階主子式都為正。

對稱陣為負定的充分必要條件是奇數階主子式為負,偶數階主子式為正,即

定理2.2對稱陣A為正定的充分必要條件是A的特征值全為正,對稱陣A為負定的充分必要條件是A的特征值全為負。

定義3設有n元函數，在區域內具有一階和二階連續偏導數，對，記

分別稱和

為在的梯度（grad）和在的海森矩陣（Hessianmatrix）

3多元函數極值的判別法

定理3.1（必要條件）：設多元函數在點具有偏導數，且在點處有極值，則它在該點的梯度必然為零,即

證：反證法。不妨設為極大值，而，則有某一i，使。不妨設，則存在的某一鄰域，使得在這一鄰域內當時，有，矛盾。

定理3.2（充分條件）：設多元函數在點的某一鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數，且，則

（1）正定時，取得極小值；

（2）負定時，取得極大值；

（3）不定時，在處不取極值；

（4）半正定或者半負定時，在點處可能取極值也可能不取極值。

證：由連續性，存在點的某一鄰域，使當時，與同號，于是當時，記

注意到，由一階泰勒公式，

可知，（1）當正定時，，取得極小值；

（2）當負定時，，取得極大值；

（3）當不定時，不恒大于或不恒小于，因而不是極值；

（4）研究函數，顯然，為半正定陣，而卻不是的極值

由定理3.2可得如下推論

推論1設二元函數在某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數,又，記，則

（1）當在點處取得極小值；

（2）當，在點處取得極大值；

（3）當時，在點不取極值；

（4）時，在點可能取極值也可能不取極值。

證由定理3.2及定理2.1既得。

推論2設多元函數在點的某一鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數，且，則

（1）的特征值全為正值時，取得極小值；

（2）的特征值全為負值時，取得極大值；

證由定理3.2及定理2.2既得。

例1求函數的極值

解：，

由，解得或。

當時，

因，，

正定，取得極小值；

當時，

，，

不定，在(0,1,1)點不取極值。

4結束語

上述提出的關于多元函數極值的判定方法的教學方案需同時開設高等數學和線性代數,在多元函數極值的教學中采用上述教案則是水到渠成,得心應手的事。如果按照傳統的課程設置組織教學,采用上述教案也是可行的,沒有多大困難,只需引進n維向量、矩陣及相應概念。這些概念在多元函數極值后面的教學中也很有用,并能激發學生的學習興趣和積極性,激勵學生去自學一些諸如線性代數,經濟數學等課程,提高人才素質,并使后續的線性代數教學更得心應手。

參考文獻

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